Gemischte Aufgaben zur Ableitung

In dieser Aufgabe kürzen sich einige der Brüche heraus.

$f(x)={\displaystyle \frac{5}{x^4}}-{\displaystyle \frac{9}{x^4}}-{\displaystyle \frac{10}{3x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x^4}}$

Bringe zunächst alle Zähler mit dem Nenner $x^4$ auf einen Bruchstrich.

$\phantom{f(x)}={\displaystyle \frac{5-9+4}{x^4}}-{\displaystyle \frac{10}{3x^2}}$

Fasse den Zähler weiter zusammen.

$\phantom{f(x)}=0-{\displaystyle \frac{10}{3x^2}}$

Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

$\phantom{f(x)}=-{\displaystyle \frac{10}{3}}\cdot x^{-2}$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{10}{3}}\cdot (-2)\cdot x^{-2-1}$

$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{20}{3}}\cdot x^{-3}$

$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{20}{3x^3}}$

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{20}{3x^3}}$

In dieser Aufgabe musst du beide Brüche auf einen Hauptnenner bringen, um dir das ableiten zu vereinfachen.

$g(t)={\displaystyle \frac{10}{3t^3}}-{\displaystyle \frac{3}{t^3}}$

Erweitere ${\displaystyle \frac{3}{t^3}}$ mit $3$.

$\phantom{g(t)}={\displaystyle \frac{10}{3t^3}}-{\displaystyle \frac{9}{3t^3}}$

Bringe beide Zähler auf einen Bruchstrich.

$\phantom{g(t)}={\displaystyle \frac{10-9}{3t^3}}$

Fasse den Zähler weiter zusammen.

$\phantom{g(t)}={\displaystyle \frac{1}{3t^3}}$

Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

$\phantom{g(t)}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot t^{-3}$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$g^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (-3)\cdot t^{-3-1}$

$\phantom{g^{\prime }(t)}=-{\displaystyle \frac{1}{t^4}}$

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also $g^{\prime }(t)=-{\displaystyle \frac{1}{t^4}}$.